Sujet dans la théorie des jeux à champ moyen et applications en économie et en finance quantitative.

Résumé Les systèmes de jeux à champ moyen (MFG) décrivent des configurations d’équilibre dans des jeux différentiels avec un nombre infini d’agents infinitésimaux. Cette thèse s’articule autour de trois contributions différentes la théorie des jeux à champ moyen. Le but principal est d’explorer des applications et des extensions de cette théorie, et de proposer de nouvelles approches et idées pour traiter les questions mathématiques sous-jacentes. Le premier chapitre introduit en premier lieu les concepts et idées clés que nous utilisons tout au long de la thèse. Nous introduisons le problème MFG et nous expliquons brièvement le lien asymptotique avec les jeux différentiels N-joueurs lorsque N → ∞. Nous présentons ensuite nos principaux résultats et contributions. Le Chapitre 2 explore un modèle MFG avec un mode d’interaction non anticipatif (joueurs myopes). Contrairement aux modèles MFG classiques, nous considérons des agents moins rationnels qui n’anticipent pas l’évolution de l’environnement, mais observent uniquement l’état actuel du système, subissent les changements et prennent des mesures en conséquence. Nous analysons le système couplé d’EDP résultant de ce modèle, et nous établissons le lien rigoureux avec le jeu correspondant à N-Joueurs. Nous montrons que la population d’agents peut s’auto-organiser par un processus d’autocorrection et converger exponentiellement vite vers une configuration d’équilibre MFG bien connue. Les Chapitres 3 et 4 concernent l’application de la théorie MFG pour la modélisation des processus de production et commercialisation de produits avec ressources épuisables (ex. énergies fossiles). Dans le le Chapitre 3, nous proposons une approche variationnelle pour l’étude du système MFG correspondant et analysons la limite déterministe (sans fluctuations de la demande) dans un régime où les ressources sont renouvelables ou abondantes. Nous traitons dans le Chapitre 4 l’approximation MFG en analysant le lien asymptotique entre le modèle de Cournot à N-joueurs et le modèle de Cournot MFG lorsque N est grand. Enfin, le Chapitre 5 considère un modèle MFG pour l’exécution optimale d’un portefeuille d’actifs dans un marché financier. Nous explicitons notre modèle MFG et analysons le système d’EDP résultant, puis nous proposons une méthode numérique pour calculer la stratégie d’exécution optimale pour un agent étant donné son inventaire initial, et présentons plusieurs simulations. Par ailleurs, nous analysons l’influence de l’activité de trading sur la variation intraday de la matrice de covariance des rendements des actifs. Ensuite, nous vérifions nos conclusions et calibrons notre modèle en utilisant des données historiques des transactions pour un pool de 176 actions américaines.