Schéma de Ninomiya-Victoir : convergence forte, asymptotique pour l'erreur normalisée et méthodes de Monte-Carlo à plusieurs niveaux.

Résumé Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya-Victoir, qui est basé sur la résolution de $d+1$ équations différentielles ordinaires (ODE) à chaque pas de temps, pour approximer la solution d'une équation différentielle stochastique (SDE), où $d$ est la dimension du brownien. Cette étude a pour but d'analyser l'utilisation de ce schéma dans un estimateur Monte Carlo multi-niveaux. En effet, la complexité optimale de cette méthode est déterminée par l'ordre de convergence vers zéro de la variance entre les deux schémas utilisés sur les grilles grossière et fine à chaque niveau, ce qui est lié à l'ordre de convergence forte entre les deux schémas. Dans le deuxième chapitre, nous prouvons la convergence forte avec l'ordre $1/2$ du schéma de Ninomiya-Victoir $X^{NV,eta}$, avec un pas de temps $T/N$, vers la solution $X$ de l'EDS limite. Récemment, Giles et Szpruch ont proposé un schéma de Milstein modifié et sa version antithétique, basés sur la permutation de chaque paire successive d'incréments browniens dans le schéma, permettant de construire un estimateur de Monte Carlo à plusieurs niveaux atteignant la complexité optimale $Oleft(epsilon^{-2}right)$ pour la précision $epsilon$, comme dans une méthode de Monte Carlo simple avec des variables aléatoires sans biais indépendantes et identiquement distribuées. Dans le même esprit, nous proposons un schéma modifié de Ninomiya-Victoir, qui peut être fortement couplé avec un ordre $1$ au schéma de Giles-Szpruch au niveau le plus fin d'un estimateur de Monte Carlo multi-niveaux. Cette idée est inspirée par Debrabant et R "ossler qui suggèrent d'utiliser un schéma avec un ordre élevé de convergence faible sur la grille la plus fine au niveau le plus fin de la méthode de Monte Carlo multiniveau. Comme le nombre optimal de niveaux de discrétisation est lié à l'ordre faible du schéma utilisé sur la grille la plus fine au niveau le plus fin, Debrabant et R "ossler parviennent à réduire le temps de calcul en diminuant le nombre de niveaux de discrétisation. Le couplage avec le schéma de Giles-Szpruch nous permet de combiner les deux idées. De cette façon, nous préservons la complexité optimale $Oleft(epsilon^{-2}right)$ et nous réduisons le temps de calcul, puisque le schéma de Ninomiya-Victoir est connu pour présenter une convergence faible avec un ordre 2. Dans le troisième chapitre, nous vérifions que l'erreur normalisée définie par $sqrt{N}left(X - X^{NV,eta}right)$ converge vers une EDS affine avec des termes sources impliquant les brackets de Lie entre les champs vectoriels browniens. Ce résultat assure que le taux de convergence forte est en fait de $1/2$ quand au moins deux champs de vecteurs browniens ne commuent pas. Pour relier ce résultat à l'estimateur de Monte Carlo à plusieurs niveaux, on peut considérer comme une première étape l'adaptation au schéma de Ninomiya-Victoir du théorème central limite de type Lindeberg-Feller, dérivé récemment par Ben Alaya et Kebaier pour l'estimateur de Monte Carlo à plusieurs niveaux basé sur le schéma d'Euler. Lorsque les champs vectoriels browniens commuent, la limite disparaît. Nous prouvons alors la convergence forte avec l'ordre $1$ dans ce cas. Le quatrième chapitre traite de la convergence du processus d'erreur normalisé $Nleft(X - X^{NV}right)$, où $X^{NV}$ est le Ninomiya-Victoir dans le cas commutatif. Nous prouvons sa convergence stable en droit vers un SDE affine avec des termes sources impliquant les crochets de Lie entre les champs vectoriels browniens et le champ vectoriel de dérive. Ce résultat assure que le taux de convergence forte est effectivement de $1$ lorsque les champs vectoriels browniens commuent, mais qu'au moins l'un d'entre eux ne commute pas avec le champ vectoriel de dérive de Stratonovich Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya et Victoir.