Analyse micro-macro de la dynamique des populations hétérogènes structurées par âge. Application aux processus d'auto-excitation et à la démographie.

Résumé Cette thèse porte sur les modèles de dynamique des populations et leurs applications, d'une part à la démographie et à l'actuariat, et d'autre part aux processus de Hawkes. Ce travail explore à travers plusieurs points de vue comment les structures de la population évoluent dans le temps, tant en termes d'âges que de caractéristiques. En cinq chapitres, nous développons une philosophie commune qui étudie la population à l'échelle de l'individu afin de mieux comprendre le comportement des quantités agrégées. Le premier chapitre introduit les motivations et détaille les principales contributions en français. Dans le chapitre 2, basé sur Bensusan et al. (2010-2015), nous étudions la modélisation des populations caractéristiques et structurées par âge et leur dynamique, ainsi que plusieurs exemples motivés par des questions démographiques. Nous détaillons la construction mathématique de tels processus de population, ainsi que leur lien avec des équations déterministes bien connues en démographie. Nous illustrons l'algorithme de simulation sur un exemple d'effet de cohorte, et nous discutons également du rôle de l'environnement aléatoire. Les deux chapitres suivants mettent l'accent sur l'importance de la pyramide des âges. Le chapitre 3 utilise une forme particulière du modèle général introduit au chapitre 2 afin d'étudier les processus de Hawkes avec des immigrants généraux. Dans cette partie théorique basée sur Boumezoued (2015b), nous utilisons le concept de pyramide des âges pour dériver de nouvelles propriétés de distribution pour une classe de fonctions de fertilité qui généralisent le cas populaire de l'exponentielle. Le chapitre 4 est basé sur Arnold et al. (2015) et analyse l'impact des changements de mortalité par cause de décès sur la pyramide des âges de la population, et en particulier sur le ratio de dépendance qui est crucial pour mesurer le vieillissement de la population. En incluant les schémas de natalité, ce travail numérique basé sur les données de l'OMS apporte un éclairage supplémentaire par rapport à la littérature existante sur les causes de décès se concentrant uniquement sur les indicateurs de mortalité. Les deux derniers chapitres portent sur l'hétérogénéité de la population. L'objectif du chapitre 5, basé sur Boumezoued et al. (2015), est de mesurer l'hétérogénéité de la mortalité sur des données longitudinales françaises appelées Échantillon Démographique Permanent. Dans ce travail, inspiré par les avancées récentes de la littérature statistique, nous développons une méthode paramétrique de maximum de vraisemblance pour les modèles multi-états qui prend en compte à la fois la censure par intervalle et les transitions réversibles. Enfin, le chapitre 6, basé sur Boumezoued (2015a), considère le modèle général introduit au chapitre 2 dans lequel les individus peuvent donner naissance, changer leurs caractéristiques et mourir. La contribution de ce travail théorique est l'analyse du comportement de la population lorsque les caractéristiques individuelles changent très souvent. Nous établissons un théorème de limite de grande population pour le processus de pyramide des âges, dont la dynamique est décrite à la limite par les taux de natalité et de mortalité qui sont moyennés sur la composition stable de la population.