Estimateurs adaptatifs avec parcimonie structurée.

Résumé Cette thèse présente de nouvelles procédures statistiques dans un cadre non-paramétrique et étudie à la fois leurs propriétés théoriques et empiriques. Nos travaux portent sur deux sujets différents qui ont pour point commun l'observation indirecte du paramètre fonctionnel inconnu. La première partie est consacrée à une procédure d'estimation de type seuillage par blocs pour le modèle de bruit blanc gaussien. Nous nous intéressons à l'estimation adaptative d'un signal f et des ses dérivées à partir de n versions floutées et bruitées de ce signal et prouvons que notre estimateur atteint une vitesse de convergence (quasi-)optimale sur une large classe de boules de Besov. Puis, nous proposons une procédure adaptative d'estimation permettant de sélectionner les paramètres de l'estimateur de manière optimale en minimisant un estimateur sans biais du risque. Dans la deuxième partie, nous nous plaçons dans le cadre du modèle de densité au sein duquel la fonction inconnue subit une transformation donnée avant d'être observée. Nous construisons et étudions un estimateur adaptatif basé sur une approche plug-in et un seuillage dur en ondelettes par blocs. Enfin, nous étudions le problème d'estimer la convolution d'ordre m d'une densité à partir d'observations i.i.d. tirées dans la loi sous-jacente. Nous proposons un estimateur adaptatif fondé sur des noyaux, de l'analyse de Fourier et la méthode de Lepski. Nous étudions son risque quadratique et des vitesses nouvelles et rapides sont obtenues, pour une vaste classe de fonctions inconnues. Chaque méthode d'estimation étudiée est analysée numériquement par simulations, à la fois sur données simulées et sur données réelles.