Options américaines dans un modèle de marché incomplet non linéaire avec défaut.

Résumé Nous étudions les prix de supercouverture et les stratégies de supercouverture associées pour les options américaines dans un modèle de marché incomplet non linéaire avec défaut. Les points de vue du vendeur et de l'acheteur sont présentés. Le modèle de marché sous-jacent se compose d'un actif sans risque et d'un actif risqué piloté par un mouvement brownien et une martingale de défaut compensée. Les processus de portefeuille suivent une dynamique non linéaire avec un moteur non linéaire f. Nous donnons une représentation duale du prix du vendeur (supercouverture) pour l'option américaine associée à un payoff complètement irrégulier $(\xi_t)$ (pas nécessairement càdlàg) en termes de valeur d'un problème mixte non linéaire de contrôle/arrêt. La représentation duale implique un ensemble approprié de mesures de probabilité équivalentes, que nous appelons mesures de probabilité f-martingales. Nous fournissons également deux caractérisations infinitésimales du processus de prix du vendeur : en termes de la supersolution minimale d'une BSDE réfléchie contrainte et en termes de la supersolution minimale d'une BSDE réfléchie optionnelle. Sous certaines hypothèses de régularité sur $\xi$, nous montrons également un résultat de dualité pour le prix de l'acheteur en termes de valeur d'un problème de jeu de contrôle/arrêt non linéaire.