Sur les inégalités de Sobolev logarithmiques pour le noyau de chaleur sur le groupe de Heisenberg.

Résumé Dans cette note, nous dérivons une nouvelle inégalité de Sobolev logarithmique pour le noyau de chaleur sur le groupe de Heisenberg. La preuve est inspirée de la méthode historique de Leonard Gross avec le théorème de la limite centrale pour une marche aléatoire. Ici, la nature non commutative des incréments produit un nouveau gradient qui implique naturellement un pont brownien sur le groupe de Heisenberg. Cette nouvelle inégalité contient l'inégalité de Sobolev logarithmique optimale pour la distribution gaussienne en deux dimensions. Nous comparons cette nouvelle inégalité avec l'inégalité de Sobolev logarithmique sub-elliptique de Hong-Quan Li et avec l'inégalité plus récente de Fabrice Baudoin et Nicola Garofalo obtenue en utilisant un critère de courbure généralisé. Enfin, nous étendons cette inégalité au cas des groupes de Carnot homogènes de rang deux.