Régression par quantile vectoriel.

Résumé Nous proposons une notion de fonction quantile vectorielle conditionnelle et une régression quantile vectorielle. Une fonction quantile vectorielle conditionnelle (FQVC) d'un vecteur aléatoire Y, prenant des valeurs dans ℝd étant donné des covariables Z=z, prenant des valeurs dans ℝk, est une carte u↦QY∣Z(u,z), qui est monotone, au sens de gradient d'une fonction convexe, et telle que, étant donné que le vecteur U suit une distribution non atomique de référence FU, par exemple une distribution uniforme sur un cube unitaire dans ℝd, le vecteur aléatoire QY∣Z(U,z) a la distribution de Y conditionnellement à Z=z. De plus, nous avons une représentation forte, Y=QY∣Z(U,Z) presque sûrement, pour une certaine version de U. La régression quantile vectorielle (VQR) est un modèle linéaire pour la CVQF de Y étant donné Z. Sous spécification correcte, la notion produit une représentation forte, Y=β(U)⊤f(Z), pour f(Z) désignant un ensemble connu de transformations de Z, où u↦β(u)⊤f(Z) est une carte monotone, le gradient d'une fonction convexe, et les coefficients de régression quantile u↦β(u) ont des interprétations analogues à celle de la régression quantile scalaire standard. Comme f(Z) devient une classe plus riche de transformations de Z, le modèle devient non paramétrique, comme dans la modélisation en série. Une propriété clé de la VQR est l'intégration du problème classique de transport optimal de Monge-Kantorovich à son cœur comme un cas spécial. Dans le cas classique, où Y est scalaire, VQR se réduit à une version du QR classique, et CVQF se réduit à la fonction quantile conditionnelle scalaire. Plusieurs applications à des problèmes divers tels que l'estimation de courbes d'Engel multiples et la mesure du risque financier sont considérées.