Loi circulaire pour les matrices aléatoires à entrées échangeables.

Résumé Une matrice aléatoire échangeable est une matrice aléatoire dont la distribution est invariante sous toute permutation des entrées. Pour de telles matrices aléatoires, nous montrons, lorsque la dimension tend vers l'infini, que la distribution spectrale empirique tend vers la loi uniforme sur le disque unitaire. Il s'agit d'une instance du phénomène d'universalité connu sous le nom de loi circulaire, pour un modèle de matrices aléatoires à entrées, lignes et colonnes dépendantes. C'est aussi une contrepartie non-hermitienne d'un résultat de Chatterjee sur la loi semi-circulaire pour les matrices aléatoires hermitiennes à entrées échangeables. La preuve repose en particulier sur une réduction à un modèle plus simple donné par un brassage aléatoire d'une matrice déterministe rigide, sur l'hermétisation, ainsi que sur la concentration combinatoire de la mesure et le théorème central limite combinatoire. Une étape cruciale est une borne polynomiale sur la plus petite valeur singulière des matrices aléatoires échangeables, qui peut présenter un intérêt indépendant.