Spectre des générateurs de Markov sur les graphes aléatoires épars.

Résumé Nous étudions le spectre du générateur infinitésimal de la marche aléatoire en temps continu sur un graphe orienté pondéré aléatoirement. Il s'agit de la matrice aléatoire non hermitique nxn L définie par L(j,k)=X(j,k) si k<>j et L(j,j)=-somme(L(j,k),k<>j), où X(j,k) sont des poids aléatoires i.i.d.. Sous de légères hypothèses sur la loi des poids, nous établissons la convergence lorsque n tend vers l'infini de la distribution spectrale empirique de L après centrage et remise à l'échelle. En particulier, nos hypothèses incluent les graphes aléatoires épars tels que le graphe orienté de Erdős-Rényi où chaque arête est présente indépendamment avec une probabilité p(n)->0 tant que np(n) >> (log(n))^6. La distribution limite est caractérisée comme une déformation gaussienne additive de la loi circulaire standard. En termes de probabilité libre, cela coïncide avec la mesure de Brown de la somme libre de l'élément circulaire et d'un opérateur normal avec une mesure spectrale gaussienne. La densité de la distribution limite est analysée à l'aide d'une formule de subordination. De plus, nous étudions la convergence de la mesure invariante de L vers la distribution uniforme et établissons des estimations sur les valeurs propres extrémales de L.