PATILEA Valentin

Nous proposons des estimateurs non paramétriques simples pour la moyenne et les fonctions de covariance des données fonctionnelles. Notre configuration couvre un large éventail de situations pratiques. Les trajectoires aléatoires ne sont pas nécessairement différentiables, ont une régularité inconnue, et sont mesurées avec erreur à des points de conception discrets. L'erreur de mesure peut être hétéroscédastique. Les points de conception peuvent être soit tirés au hasard, soit communs à toutes les courbes. La définition de nos estimateurs non paramétriques dépend de la régularité locale du processus stochastique générant les données fonctionnelles. Nous proposons d'abord un estimateur simple de cette régularité locale qui tire sa force des caractéristiques de réplication et de régularisation des données fonctionnelles. Ensuite, nous utilisons l'approche "lissage d'abord, estimation ensuite" pour la moyenne et les fonctions de covariance. Les nouveaux estimateurs non paramétriques atteignent des taux de convergence optimaux. Ils peuvent être appliqués à des courbes échantillonnées de manière éparse ou dense, sont faciles à calculer et à mettre à jour, et donnent de bons résultats dans les simulations. Les simulations réalisées à partir d'un exemple de données réelles sur la consommation électrique des ménages illustrent l'efficacité de la nouvelle approche.

Nous proposons un algorithme de clustering basé sur un modèle pour une classe générale de données fonctionnelles dont les composants peuvent être des courbes ou des images. Les réalisations aléatoires des données fonctionnelles pourraient être mesurées avec erreur en des points discrets, et éventuellement aléatoires, du domaine de définition. L'idée est de construire un ensemble d'arbres binaires par division récursive des observations. Le nombre de groupes est déterminé en fonction des données. Le nouvel algorithme fournit des résultats facilement interprétables et des prédictions rapides pour les ensembles de données en ligne. Les résultats obtenus sur des ensembles de données simulées révèlent de bonnes performances dans divers contextes complexes. La méthodologie est appliquée à l'analyse des trajectoires de véhicules sur un rond-point allemand.

En combinant les informations à la fois dans et entre les trajectoires, nous proposons un estimateur simple pour la régularité locale des trajectoires d'un processus stochastique. Les trajectoires indépendantes sont mesurées avec des erreurs à des points de temps échantillonnés de façon aléatoire. Des limites non asymptotiques pour la concentration de l'estimateur sont dérivées. Étant donné l'estimation de la régularité locale, nous construisons un lisseur polynomial local presque optimal à partir des courbes d'un nouvel échantillon de trajectoires bruitées, éventuellement très grand. Nous dérivons des limites de risque ponctuelles non asymptotiques uniformément sur le nouvel ensemble de courbes. Nos estimations donnent de bons résultats dans les simulations. Des ensembles de données réelles illustrent l'efficacité de ces nouvelles approches.

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Les hypothèses semi-paramétriques à indice unique sont des approches de réduction de la dimension pratique et largement utilisées qui représentent un compromis entre les modèles paramétriques et entièrement non paramétriques pour les régressions ou les lois conditionnelles. Dans une configuration de régression moyenne, l'hypothèse SIM signifie que l'espérance conditionnelle de la réponse étant donné le vecteur des covariables est la même que l'espérance conditionnelle de la réponse étant donné une projection scalaire du vecteur des covariables. Dans une modélisation de distribution conditionnelle, sous l'hypothèse SIM, la loi conditionnelle d'une réponse étant donné le vecteur de covariables coïncide avec la loi conditionnelle étant donné une combinaison linéaire des covariables. Plusieurs techniques d'estimation pour les modèles à indice unique sont disponibles et couramment utilisées dans les applications. Cependant, le problème du test de la qualité de l'ajustement semble moins exploré et les propositions existantes présentent encore quelques inconvénients majeurs. Dans cet article, une nouvelle approche basée sur les noyaux pour tester les hypothèses SIM est introduite. Le vecteur de covariables n'a pas besoin d'avoir une densité et seul l'indice estimé sous l'hypothèse SIM est utilisé dans le lissage du noyau. Ainsi, l'effet des covariables de haute dimension est atténué et la normalité asymptotique de la statistique de test est obtenue. Indépendamment de la dimension fixe du vecteur de covariables, le nouveau test détecte les alternatives locales s'approchant de l'hypothèse nulle plus lentement que $n^{-1/2}h^{-1/4},$ où $h$ est la largeur de bande utilisée pour construire la statistique de test et $n$ est la taille de l'échantillon. Une procédure bootstrap sauvage est proposée pour les corrections d'échantillons finis des valeurs critiques asymptotiques. Les performances sur petits échantillons de notre test par rapport aux procédures existantes sont illustrées par des simulations.

Nous abordons la question du test de manque d'ajustement pour une régression quantile paramétrique. Nous proposons un test simple qui implique un lissage unidimensionnel du noyau, de sorte que le taux auquel il détecte les alternatives locales est indépendant du nombre de covariables. Le test a des valeurs critiques asymptotiquement gaussiennes, et le bootstrap sauvage peut être appliqué pour obtenir des valeurs plus précises dans de petits échantillons. Notre procédure semble être compétitive par rapport aux procédures existantes dans les simulations. Nous illustrons l'utilité de notre test sur des données de poids de naissance.

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Le but de cette thèse était d'explorer la thématique du scoring dans le cadre de son utilisation dans le monde bancaire, et plus particulièrement pour contrôler le risque de crédit. En effet, la diversification et la globalisation des activités bancaires dans la deuxième moitié du XXe siècle ont conduit à l'instauration d'un certain nombre de régulations, afin de pouvoir s'assurer que les établissements bancaires disposent de capitaux nécessaires à couvrir le risque qu'ils prennent. Cette régulation impose ainsi la modélisation de certains indicateurs de risque, dont la probabilité de défaut, qui est pour un prêt en particulier la probabilité que le client se retrouve dans l'impossibilité de rembourser la somme qu'il doit. La modélisation de cet indicateur passe par la définition d'une variable d'intérêt appelée critère de risque, dénotant les "bons payeurs" et les "mauvais payeurs". Retranscrit dans un cadre statistique plus formel, cela signifie que nous cherchons à modéliser une variable à valeurs dans {0,1} par un ensemble de variables explicatives. Cette problématique est en pratique traitée comme une question de scoring. Le scoring consiste en la définition de fonction, appelées fonctions de score, qui retransmettent l'information contenue dans l'ensemble des variables explicatives dans une note de score réelle. L'objectif d'une telle fonction sera de donner sur les individus le même ordonnancement que la probabilité a posteriori du modèle, de manière à ce que les individus ayant une forte probabilité d'être "bons" aient une note élevée, et inversement que les individus ayant une forte probabilité d'être "mauvais" (et donc un risque fort pour la banque) aient une note faible. Des critères de performance tels que la courbe ROC et l'AUC ont été définis, permettant de quantifier à quel point l'ordonnancement produit par la fonction de score est pertinent. La méthode de référence pour obtenir des fonctions de score est la régression logistique, que nous présentons ici. Une problématique majeure dans le scoring pour le risque de crédit est celle de la sélection de variables. En effet, les banques disposent de larges bases de données recensant toutes les informations dont elles disposent sur leurs clients, aussi bien sociodémographiques que comportementales, et toutes ne permettent pas d'expliquer le critère de risque. Afin d'aborder ce sujet, nous avons choisi de considérer la technique du Lasso, reposant sur l'application d'une contrainte sur les coefficients, de manière à fixer les valeurs des coefficients les moins significatifs à zéro. Nous avons envisagé cette méthode dans le cadre des régressions linéaires et logistiques, ainsi qu'une extension appelée Group Lasso, permettant de considérer les variables explicatives par groupes. Nous avons ensuite considéré le cas où la variable réponse n'est plus binaire, mais polytomique, c'est-à-dire avec plusieurs niveaux de réponse possibles. La première étape a été de présenter une définition du scoring équivalente à celle présentée précédemment dans le cas binaire. Nous avons ensuite présenté différentes méthodes de régression adaptées à ce nouveau cas d'étude : une généralisation de la régression logistique binaire, des méthodes semi-paramétriques, ainsi qu'une application à la régression logistique polytomique du principe du Lasso. Enfin, le dernier chapitre est consacré à l'application de certaines des méthodes évoquées dans le manuscrit sur des jeux de données réelles, permettant de les confronter aux besoins réels de l'entreprise.

Nous envisageons de tester la signification d'un sous-ensemble de covariables dans une régression non paramétrique. Ces covariables peuvent être continues et/ou discrètes. Nous proposons un nouveau test basé sur le noyau qui lisse uniquement les covariables apparaissant sous l'hypothèse nulle, de sorte que la malédiction de la dimensionnalité est atténuée. La statistique de test est asymptotiquement pivotante et le taux auquel le test détecte des alternatives locales ne dépend que de la dimension des covariables sous l'hypothèse nulle. Nous montrons la validité du bootstrap sauvage pour le test. Dans les petits échantillons, notre test est compétitif par rapport aux procédures existantes.

Dans cette thèse, nous étudions des modèles définis par des équations de moments conditionnels. Une grande partie de modèles statistiques (régressions, régressions quantiles, modèles de transformations, modèles à variables instrumentales, etc.) peuvent se définir sous cette forme. Nous nous intéressons au cas des modèles avec un paramètre à estimer de dimension finie, ainsi qu’au cas des modèles semi paramétriques nécessitant l’estimation d’un paramètre de dimension finie et d’un paramètre de dimension infinie. Dans la classe des modèles semi paramétriques étudiés, nous nous concentrons sur les modèles à direction révélatrice unique qui réalisent un compromis entre une modélisation paramétrique simple et précise, mais trop rigide et donc exposée à une erreur de modèle, et l’estimation non paramétrique, très flexible mais souffrant du fléau de la dimension. En particulier, nous étudions ces modèles semi paramétriques en présence de censure aléatoire. Le fil conducteur de notre étude est un contraste sous la forme d’une U-statistique, qui permet d’estimer les paramètres inconnus dans des modèles généraux.

La thèse se compose de deux parties : une partie consacrée à l'estimation des quantiles conditionnels et une autre à l'apprentissage supervisé. La partie "Estimation des quantiles conditionnels" est organisée en 3 chapitres : Le chapitre 1 est consacré à une introduction sur la régression linéaire locale, présentant les méthodes les plus utilisées, pour estimer le paramètre de lissage. Le chapitre 2 traite des méthodes existantes d’estimation nonparamétriques du quantile conditionnel . Ces méthodes sont comparées, au moyen d’expériences numériques sur des données simulées et des données réelles. Le chapitre 3 est consacré à un nouvel estimateur du quantile conditionnel et que nous proposons . Cet estimateur repose sur l'utilisation d'un noyau asymétrique en x. Sous certaines hypothèses, notre estimateur s'avère plus performant que les estimateurs usuels.
La partie "Apprentissage supervisé" est, elle aussi, composée de 3 chapitres : Le chapitre 4 est une introduction à l’apprentissage statistique et les notions de base utilisées, dans cette partie. Le chapitre 5 est une revue des méthodes conventionnelles de classification supervisée. Le chapitre 6 est consacré au transfert d'un modèle d'apprentissage semi-paramétrique. La performance de cette méthode est montrée par des expériences numériques sur des données morphométriques et des données de credit-scoring.

La modélisation de la volatilité pour les séries temporelles univariées autorégressives est considérée. Une approche de référence est le modèle ARCH stationnaire d'Engle (1982). Motivés par des données réelles, des processus avec une variance inconditionnelle non constante et des effets ARCH ont été récemment introduits. Nous prenons en compte cette éventuelle non stationnarité et proposons des procédures de test simples pour les effets ARCH. Des tests adaptés de portmanteau et ARCH-LM de McLeod et Li sont fournis pour vérifier la dynamique de second ordre. Les versions standard de ces tests, couramment utilisées par les praticiens, supposent une variance inconditionnelle constante. Nous prouvons l'échec de ces tests standards avec une variance inconditionnelle variant dans le temps. Les résultats théoriques sont illustrés par des moyennes de données simulées et réelles.

Dans cette thèse, nous étudions des tests du type : (H0) : E [U | X] = 0 p.s. contre (H1) : P {E [U | X] = 0} < 1 où U est le résidu de la modélisation d'une variable Y en fonction de X. Dans ce cadre et pour plusieurs cas particuliers – significativité de variables, régression quantile, données fonctionnelles, modèle single-index –, nous proposons une statistique de test permettant d'obtenir des valeurs critiques issues d'une loi asymptotique pivotale. Dans chaque cas, nous donnons également une méthode de bootstrap appropriée pour les échantillons de petite taille. Nous montrons la consistance envers des alternatives locales – ou à la Pitman – des tests proposés, lorsque ce type d'alternative ne tend pas trop vite vers l'hypothèse nulle. À chaque fois, nous vérifions à partir de simulations sous l'hypothèse nulle et sous une séquence d'hypothèses alternatives que les résultats théoriques sont en accord avec la pratique.

Les modèles de régression avec une variable de réponse prenant des valeurs dans un espace de Hilbert et des covariables hybrides sont considérés. Cela signifie que deux ensembles de régresseurs sont autorisés, un de dimension finie et un second fonctionnel avec des valeurs dans un espace de Hilbert. Le problème que nous abordons est le test de l'effet des covariables fonctionnelles. Ce problème se pose par exemple lors de la vérification de la qualité de l'ajustement de certains modèles de régression pour des données fonctionnelles. Le test de signification des régresseurs fonctionnels dans la régression non paramétrique avec des covariables hybrides et des réponses scalaires ou fonctionnelles est un autre exemple où le problème central est le test de l'effet des covariables fonctionnelles. Nous proposons un nouveau test basé sur le lissage du noyau. La statistique du test est asymptotiquement normale sous l'hypothèse nulle, à condition que le paramètre de lissage tende vers zéro à un rythme approprié. Le test unilatéral est cohérent par rapport à toute alternative fixe et détecte les alternatives locales à la Pitman qui s'approchent de l'hypothèse nulle. En particulier, nous montrons que ni la dimension du résultat ni la dimension des covariables fonctionnelles n'influencent la puissance théorique du test contre de telles alternatives locales. Des expériences de simulation et une application de données réelles illustrent la performance du nouveau test avec des échantillons finis.

Considérons un vecteur aléatoire $(X',Y)'$, où $X$ est de dimension d$ et $Y$ est unidimensionnel. Nous supposons que $Y$ est soumis à une censure aléatoire à droite. L'objectif de cet article est double. Premièrement, nous proposons un nouvel estimateur de la distribution conjointe de $(X',Y)'$. Cet estimateur surmonte le problème courant de la malédiction de la dimensionnalité, en utilisant une nouvelle technique de réduction de la dimension. Deuxièmement, nous supposons que la relation entre $X$ et $Y$ est donnée par un modèle à indice unique, et nous proposons un nouvel estimateur des paramètres de ce modèle. Les propriétés asymptotiques de tous les estimateurs proposés sont obtenues.

Le problème du test d'ajustement pour les processus Vector AutoRegressive (VAR) avec des erreurs inconditionnellement hétéroscédastiques est étudié. La structure de la volatilité est déterministe mais variable dans le temps et permet des changements qui sont couramment observés dans les séries économiques ou financières multivariées. Notre analyse est basée sur les autocovariances et autocorrélations résiduelles obtenues à partir de l'estimation des paramètres autorégressifs par les moindres carrés ordinaires (OLS), les moindres carrés généralisés (GLS) et les moindres carrés adaptatifs (ALS). L'approche ALS est l'approche GLS adaptée à la volatilité inconnue variant dans le temps qui est ensuite estimée par un lissage à noyau. Les propriétés des trois types d'autocovariances et d'autocorrélations résiduelles sont dérivées. En particulier, il est montré que les autocorrélations résiduelles ALS et GLS sont asymptotiquement équivalentes. On constate également que la distribution asymptotique des autocorrélations résiduelles des MCO peut être très différente de la distribution asymptotique standard du chi carré obtenue dans un modèle VAR correctement spécifié avec des innovations iid. Par conséquent, les tests standard de portmanteau ne sont pas fiables dans notre cadre. Les valeurs critiques correctes des tests de Portmanteau standard basés sur les résidus des MCO sont dérivées. De plus, des statistiques de portmanteau modifiées basées sur les autocorrélations résiduelles des MCO sont introduites. Des tests de portmanteau avec des statistiques modifiées basées sur les résidus des MCO et des SLA et des distributions asymptotiques standard du chi-deux sous l'hypothèse nulle sont également proposés. Une extension de nos approches de portmanteau pour tester la longueur du lag dans un modèle vectoriel de type correction d'erreur pour les relations de co-intégration est brièvement étudiée. Les propriétés d'échantillon fini des tests de qualité d'ajustement que nous considérons sont étudiées par des expériences de Monte Carlo. Les résultats théoriques sont également illustrés à l'aide de deux ensembles de données économiques américaines.

Les approches par équation d'estimation ont été largement utilisées dans l'inférence statistique. Les équations de vraisemblance sont des exemples importants d'équations d'estimation. Depuis son introduction par Sir R. A. Fisher il y a près d'un siècle, l'estimation du maximum de vraisemblance (MLE) reste la méthode d'estimation la plus populaire utilisée pour ajuster les distributions de probabilité aux données, y compris l'ajustement des distributions de durée de vie avec des données censurées. Cependant, l'ELM peut produire un biais substantiel et même échouer à obtenir des intervalles de confiance valides lorsque la taille des données n'est pas assez grande ou lorsqu'il y a des données censurées. Dans cet article, sur la base de combinaisons non linéaires de statistiques d'ordre, nous proposons de nouvelles approches d'équation d'estimation pour une classe de distributions de probabilité, qui sont particulièrement efficaces pour les distributions asymétriques avec de petites tailles d'échantillon et des données censurées. Les approches proposées peuvent posséder un certain nombre de propriétés intéressantes telles que la cohérence, la suffisance et l'unicité. La normalité asymptotique de ces nouveaux estimateurs est dérivée. La construction des nouvelles équations d'estimation et leurs performances numériques dans différents schémas censurés sont détaillées via la distribution de Weibull et la distribution exponentielle généralisée.

Pour étudier l'influence d'un paramètre de largeur de bande dans l'inférence avec des moments conditionnels, nous proposons une nouvelle classe d'estimateurs et établissons une représentation asymptotique de notre estimateur comme un processus indexé par une largeur de bande, qui peut varier dans une large gamme incluant des largeurs de bande indépendantes de la taille de l'échantillon. Nous étudions son comportement en cas de mauvaise spécification. Nous proposons également une version efficace de notre estimateur. Nous développons une procédure basée sur une statistique métrique de distance pour tester les restrictions sur les paramètres ainsi qu'une technique bootstrap pour tenir compte de l'influence de la largeur de bande. Nos nouvelles méthodes sont simples à mettre en œuvre, s'appliquent aux problèmes non lisses et donnent de bons résultats dans nos simulations.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux données fonctionnelles. La généralisation du modèle linéaire généralisé fonctionnel au modèle défini par des équations estimantes est étudiée. Nous obtenons un théorème du type théorème de la limite centrale pour l'estimateur considéré. Les instruments optimaux sont estimés, et nous obtenons une convergence uniforme des estimateurs. Nous nous intéressons ensuite à différents tests en données fonctionnelles. Il s'agit de tests non-paramétriques pour étudier l'effet d'une covariable aléatoire fonctionnelle sur un terme d'erreur, qui peut être directement observé comme une réponse ou estimé à partir d'un modèle fonctionnel comme le modèle linéaire fonctionnel. Nous avons prouvé, pour pouvoir mettre en oeuvre les différents tests, un résultat de réduction de la dimension qui s'appuie sur des projections de la covariable fonctionnelle. Nous construisons des tests de non-effet et d'adéquation en utilisant soit un lissage par un noyau, soit un lissage par les plus proches voisins. Un test d'adéquation dans le modèle linéaire fonctionnel est proposé. Tous ces tests sont étudiés d'un point de vue théorique et pratique.

Dans ce travail, nous présentons de nouveaux modèles pour l'analyse de survie.

Nous considérons des modèles de régression où la variable expliquée est censurée à droite aléatoirement. Nous proposons de nouveaux estimateurs de la fonction de régression dans des modèles paramétriques, et nous proposons une procédure de test non paramétrique d'adéquation à ces modèles. Nous prolongeons ces méthodes à l'étude du modèle semi-paramétrique "single-index", généralisant des techniques de réduction de la dimension utilisées en l'absence de censure. Nous nous penchons tout d'abord sur des modèles reposant sur des hypothèses d'identifiabilité plus fortes, avant de travailler dans un cadre où la variable expliquée et la censure sont indépendantes conditionnellement aux variables explicatives. Nous développons une nouvelle approche de réduction de la dimension pour ce type de problème.